魔法陣 3×3 負の数 15

&=1+2+3+4+5+6+7+8+9 \\

\begin{equation} a^2+d^2+g^2=c^2+f^2+i^2 WordPress Luxeritas Theme is provided by "Thought is free".

8^2+3^2+4^2&=64+9+16 \\ &=a^2+d^2+g^2-100+20a-a^2 \\

\begin{equation} 6×1+7×5+2×9=1×8+5×3+9×4 2^2+9^2+4^2&=4+81+16 \\ 1+2+3+4+5+6+7+8+9=3X45=3X

色々な感想とネタバレとIT ,

3×3の魔方陣の場合、各列の合計が15になります。 子どもの遊びですが、タテヨコのマスの数を5にしたり9にしたりと、どんどん増やしていけばけっこう難しい問題になります。数学的にはややこしい計算をして作り上げるもののようです。 &=71 �� \end{align} からといって,必ずしも1~9の数が入っていると は限りません。 右の図のように,大きい数が入っ ている場合もあります。 では,ちょっとむずかしい魔方陣の問題について, 学習していきましょう。

魔法陣ではなくて魔方陣 魔方陣とは? 正方形の升目が異なった数字で埋まっており、縦、横、斜めの和が一定の数になるもの。 6 1 8 7 5 3 2 9 4 6 + 1 + 8=15 + + + 7 + 5 + 3=15 + + &a^2+d^2+g^2-(c^2+f^2+i^2) \\ \end{equation} (a+b+c+d+e+f& \\ \end{align}, \begin{equation}

を証明したいので、 \(~ad+be+cf-(dg+eh+fi)~\) を考える。

よろしくお願いします!, ありがとうさんのコメントに返信して下さい。 (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60 ②中央の数を求める \end{equation} Copyright © 2020 数学の面白いこと・役に立つことをまとめたサイト All Rights Reserved.

a^2+d^2+g^2-(c^2+f^2+i^2)=0 \\ &=1×8+5×3+9×4

&=a^2+d^2+g^2-100+20a-a^2-100+20d-d^2-100+20g-g^2 \\ \end{align}, 中央の行(列)を仲介にして、積の和が等しいことから「中央積和の法則」と名付けています。こちらについても、検算による証明と、文字式による証明をしておきましょう。, \begin{align} &=71 a~iには1~9の異なる数字が入り、1~9の合計が45なので &=101 &=-100+20a-100+20d-100+20g \\

・「3×3魔方陣のもつ性質」 &=(a+c)(d+f)+2be-10(d+e+f) \\

\end{align}, \begin{align} \begin{align} よって、2列目を見れば \(~h=9~\) がわかります。 &=-100+20a-100+20d-100+20g \\ &-100+20d-d^2-100+20g-g^2 \\ 6×1+7×5+2×9=1×8+5×3+9×4 \end{align}, \begin{align}

3×3の魔方陣の場合、各列の合計が15になります。 子どもの遊びですが、タテヨコのマスの数を5にしたり9にしたりと、どんどん増やしていけばけっこう難しい問題になります。数学的にはややこしい計算をして作り上げるもののようです。

&+(c+e+g)+(d+e+f)=15 \times 4 e=10 &\\



・「積の魔方陣」 \begin{equation}

(与式)&=(15-b)\cdot 10 +2b \cdot 5-10\cdot 15 \\

となる。, 3×3の升目を1~9のそれぞれ異なった数字で埋めて縦横斜めの数値の和が一定の数になるようにしたい。 \end{equation} 魔方ではなく魔法になっていますよ。, コメントありがとうございます。 ・「3×3魔方陣のすごい性質」 今回は1~9の自然数が入る3×3の魔法陣を論理的に作ってみたいと思います。, こういったパズル要素のある問題は、普通あれやこれやと試行錯誤をしながら埋めていきますが、これを数学的に解決します。, ①1ラインの和を求める 15  15  15, 縦横斜めの数の和が一定になるので横の和を求める。 実は、この魔方陣には様々な数の「魔法」が隠れています。その中の1つが次の法則。, 3×3の魔方陣において、次の計算式が成り立つ。 以上より、

魔方陣の唯一のルールは縦、横、斜めの数字を足したとき、すべて同じ数になることである, 余談:魔方陣の縦(横)の数字で三桁を作り二乗をして足した数は、三桁の数字の各桁を逆にして同じことをやったものと同じ値になる. 数を書きなさい。 ① ② ③ ④ ⑤ 次の表で、ー4から4までの整数をそれぞれ1回ずつ使い、 縦、横、斜めのそれぞれの和が等しくなるように、表の空らんに数を 入れなさい。-2-3 0 2 2 /6点 4 3-1 1-1 -4-3 2-3-1 12 41 6 3-113 98 -6 7 2-2-9-1 -4-10-12-3 0

6^2+1^2+8^2=2^2+9^2+4^2 \end{align}, であり、ここで、以下の4式を代入する。

\end{align}

\end{equation} を証明したいので、 \(~a^2+d^2+g^2-(c^2+f^2+i^2)~\) を考える。 \begin{equation} \end{align} &=a^2+d^2+g^2-(100-20a+a^2)-(100-20d+d^2)-(100-20g+g^2) \\ 横

&=ad+be+cf-10d+cd-10e+be-10f+af \\

\begin{align} ���8������Xʀ� 劈�F�r�j�2> ��Iǹ]@2��{��^H��)�P,�`wa��H4��*>2 �%�G�@Zj�&�q�3OM� ����tS�_ �I &!JG!/���������R��q�AUl��+$7��e�-�,Ԙ�Tv�pMи���`D� a+b+c+d+e+f+g+h+i=3X \begin{equation}

\begin{equation} 縦・横・斜めの数の和がすべて等しくなるように数が配置される魔方陣。今回は3×3の魔方陣の論理的な作り方を考えてみました。 \end{align}, これを式変形していくと、

\end{equation} Ⅰ 両端平方和の法則 c+e+g=15, まとめると

&-(10-d)^2-(10-g)^2 \\ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 正方形のマス(方陣)の中に1から順にマスの数だけの数字を1つずついれていき、縦・横・斜めの合計が全て同じ値になるように、数字を配置したものです。3×3の魔方陣の場合、各列の合計は「15」になります。, どんなものも、1から最後の数までの合計を、縦(もしくは横)のマス数で割ったものが、各列の合計と一致します。例えば、3×3の場合、1から9までの数字が入りますが、1~9までをすべて足した合計45を3で割ると15。, これが魔方陣の縦横の合計に一致します。5×5(縦横全部で25マス)のものであれば、縦・横・斜めは、1から25までの合計325を5で割った65になるはずです。, 尚、奇数×奇数のものと、偶数×偶数のものがありますが、私たちが考え出したものは奇数×奇数に限って使える方法です。, 3×3方陣の各列の外側に、真ん中に一つずつマスを追加します。そして、頂点のマスから順に斜めに、1、2、3……9と数字を入れていきます。, 上の頂点にある「1」を一番下の空いているマスに、右側の頂点にある「3」を一番左の空いているマスに、左の「7」を右の空いているマスに、下の「9」を上の空いているマスにそれぞれ、移動させます。これだけ!です。, この作業をするだけで、正確な魔方陣ができあがりました! 縦・横・斜めの合計を計算してみてください。いずれも15になっています。, 3×3の時は、真ん中にひとつマスを追加するだけですが、5×5、7×7、9×9と数が増えていくと少しややこしくなります。, 1列5つのマスのうち、真ん中の3つの外側にピラミッドを作るようにマスを積み上げます。(すぐ外側に3列マスを増やしたその上の中央にさらに1マス作ります), 例えば、一番上の列なら、5つのマスの上の中央に3マス追加し、その上に1マス加えます。, その上で、3×3のときと同じ要領で、頂点をスタートに1から順に数字を斜めに入れていきます。「5」まで入れたら、今度は「6」を「1」の斜め左下のマスから始めてください。, 「11」から「15」は方陣の対角線に入ることになり、「16」は方陣の外からスタートすることになります。「21」は左端の頂点からスタートし、「25」は最下段の頂点でエンドです。, 25まで入れ終えたら、今度ははみ出している「山」の部分を移動させます。3×3のときと同様に、上の「山」を一番下の空白のマスに、右の山を左端の空白のマスに、下の山を上の空白に、左の山を右の空白にそれぞれ、はめ込んでみましょう。, これで、5×5の魔法陣の完成です。縦・横・斜めの合計を計算してみてください。それぞれ「65」になるはずです。, これから先は、数が増えても同じです。7×7の場合は、追加する「山」の底辺が5マスになるだけです。これまでと同様に、頂点から順に数字を入れていき、端まで行き着いたら左上に戻って、また斜めに入れていきます。すべての数字を入れ終えたら、山を切り取って反対側に移動させるだけ。, こうして作ってみると、一定の規則というかパターンがあることがわかります。まず、中央値(真ん中の数:7×7の場合は「25」)は、必ず方陣の中心にくるということ。その中央値を囲んで、対角線上には連続する数字が並ぶこと(7×7の場合、22,23,24,25,26,27,28が対角線上に並ぶ)。, それと交差する対角線上には、中央値の等差数列が並ぶこと(7×7の場合、4,11,18,25,32,39,46:等差は7)。最小値である1と最大値は必ず中央値の上下に並ぶこと、などです。規則的に数字をはめ込んでいるので、結果に何がしかの規則が生まれるのは当然といえば当然なのですが。, 実は、どうしてこれで魔方陣ができるのか、私には分かりません。タダの小学生が遊んでいるうちに、偶然うまく行く方法を見つけただけなので、理論的な裏付けはありません。そのため、どんなに数が増えてもこの方法でうまくいくのかどうかはわからないのです。, 小学生時代には、25×25までの方陣について実際に作って試してみたところ、全てうまくいきました。3×3から25×25までうまくいくのですから、この先もうまくいくはずだろうと、推論します。, 当時は、手計算でしたのでこの程度までしかチャレンジできませんでしたが、今ならエクセルを使えばすぐにタテヨコの計算ができるので、検証は簡単です。どなたか興味のある人は、99×99などを試してみてください。, もっとも、簡単につくれる方法が分かってしまうと、知恵を絞って作り上げる楽しみはなくなってしまうのですけれども。, Copyright ©  ネタ!museum・知る蔵campus~総合情報ポータル. 6^2+1^2+8^2&=36+1+64 \\ スポンサーリンク 9��h��I����!-���+�\0�PX��^+8X�y���"�M����>ױ�� ・「3×3×3の立方陣」(立体バージョンの魔方陣), 「まほうじん」と聞くと、ゲーム等で出てくる「魔法陣」を思い浮かべる方もいますが、数学の「まほうじん」は魔法の四角形という意味合いで「魔方陣」と書きます。英語にすると"magic square"です。まずは、この魔方陣の定義を確認しておきましょう。, \(~n\times n~\) の魔方陣とは、 \(~1,2,\cdots,n^2~\) の自然数を \(~n\times n~\) の正方形のマスに入れ縦・横・斜めの数の和が一定になるものを言う。, つまり、合計8ラインそれぞれの和が等しくなるように数の配置を考えてあげなければなりません。

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